Latihan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Kelas 10

Pertidaksamaan nilai mutlak – merupakan kelanjutan dari pembelajaran sebelumnya yaitu persamaan nilai mutlak. Hampir mirip sebenarnya hanya masalah tanda saja. So konsep nilai mutlak tetap harus dipegang teguh jangan sampai terlupakan. Berikut ini pakapri berikan sedikit ringkasan materi  tentang pertidaksamaan nilai mutlak.

Ringkasan Materi Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk setiap a, b, x bilangan real, berlaku:

i. Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka –a ≤ x ≤ a.
ii. Jika a < 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan.
iii. Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤ –a.
iv. |a + b| ≤ |a| + |b| dan |a – b| ≥ |a| – |b|

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Contoh 1:
Berdasarkan salah satu sifat nilai mutlak, selesaikanlah persamaan nilai mutlak linear satu variabel |2x – 1| < 7.

Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan sifat (1) maka:
−7 <(2 − 1)< 7
−7 + 1 < 2 < 7 + 1
−6 < 2 < 8
−3 < < 4
Jadi penyelesaiannya adalah
−3 < < 4

Nah, mudah bukan? Ternyata penerapan salah satu sifat nilai mutlak tidak terlalu sulit ya. Tentu kalian dapat mencermati bahwa untuk menyelesaikan soal ini kemampuan pra syarat yang harus kalian kuasai adalah kemampuan operasi dasar perhitungan. Bagaimana, apakah masih diperlukan contoh soal lain untuk memperjelas pemahaman kalian? Baiklah, silahkan cermati contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

Contoh 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 1| ≥ |x + 3|.

Alternatif Penyelesaian:

(2 − 1)² ≥ ( + 3)²
4x²– 4x + 1 ≥ x²+ 6x + 9
3x²– 10x –8 ≥ 0, faktorkan persamaan kuadrat di ruas kiri, tentukan pembuat nol nya
(x – 4)(3x + 2) = 0, diperoleh
x = 4 atau x = – 2/3

karena 3x²– 10x –8 ≥ 0 maka penyelesainnya x ≥ 4 atau x ≤ – 2/3

catatan :
apabila seandainya didapatkan  3x²– 10x –8 ≤ 0 maka penyelesaianya – 2/3 ≤ x ≤ 4

Contoh Soal Cerita Pertidaksamaan Nilai Mutlak

contoh 3
Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L. Berapakah jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?

Alternatif Penyelasaian:

Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih m dan 12 tidak boleh lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |m – 12| ≤ 2,8.

|m – 12| ≤ 2,8
– 2,8 ≤ m – 12 ≤ 2,8
9,2 ≤ m ≤ 14,8

Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2 km/L sampai 14,8 km/L. 

contoh 4
Terdapat aturan untuk memancing ikan di sebuah Teluk di kota K. Untuk menjaga kelestarian di sekitar teluk, dianjurkan memancing di laut dengan kedalaman optimal (d) pada saat menangkap jenis ikan tertentu memenuhi pertidaksamaan 8|d – 150| – 432 < 0 (dalam meter). Tentukan jangkauan kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap jenis ikan tersebut. Jawablah dengan pertidaksamaan yang sederhana.

Alternatif Penyelesaiannya:

Diketahui pertidaksamaan 8|d – 150| – 432 < 0 dengan d adalah kedalaman optimal(dalam meter). Sehingga,
8|d – 150| – 432 < 0
8|d – 150| < 432 (masing-masing ruas ditambah 432)
|d – 150| < 54 (masing-masing ruas dikali 1/8)
–54 < d – 150 < 54
96 < d < 204

Sehingga, kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap ikan jenis tersebut adalah di antara 96 meter sampai 204 meter (96 < d < 204).

Latihan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan

3. Sebuah pabrik membuat silinder mesin mobil dengan lubang berdiameter 7,9 cm. Silinder itu tidak akan memenuhi syarat apabila ukuran diameter lubangnya menyimpang 0,0025 cm atau lebih. Tentukan panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silinder tersebut.

4. Pintu air Manggarai merupakan bagian dari sistem pengendalian banjir di Jakarta. Fungsi pintu air ini adalah mengalihkan air Sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta. Ketinggian air di pintu air Manggarai dipertahankan sampai 750 cm. Akibat pengaruh cuaca, ketinggian air menyimpang lebih dari 80 cm. Tentukan interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut.

5. Pada suatu hari, rata-rata kepadatan lalu lintas di suatu perempatan adalah 726 mobil per jam (mpj). Selama jam sibuk kepadatan lalu lintasnya lebih tinggi, sedangkan selama jam longgar kepadatannya lebih rendah. Tentukan jangkauan dari kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut jika kepadatannya tidak pernah lebih atau kurang 235 mpj dari rata-rata.

Pembahasan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Alternatif Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan , kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak di satu ruas.

|3x + 2| ≤ 4 (masing-masing ruas dikalikan 4)
– 4 ≤ (3x + 2) ≤ 4 (Sifat pertidaksamaan)
– 6 ≤ 3x ≤ 2 (masing-masing ruas ditambah (– 2 ))
– 2 ≤ x ≤ 2/3 (masing-masing ruas dikalikan 1/3)

Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaannya adalah { x | –2 ≤ x ≤ 2/3, x ∈ R }

2. Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan bahwa   merupakan pertidaksamaan kurang dari. Tetapi jika kita mengalikan kedua ruas dengan –3, kita harus membalik tanda pertidaksamaannya menjadi lebih dari.

(masing-masing ruas dikalikan (– 3) )
3 + /2 < −6 3 + /2> 6 (berdasarkan sifat nilai mutlak)
/2 < −9 /2 > 3 (masing-masing ruas ditambah –3)
< −18 > 6

Sehingga himpunan selesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x | x < –18 atau x > 6, x ∈ R}.

3. Alternatif Penyelesaian:

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan x sebagai panjang diameter lubang yang diukur adalah |x−7,9| <0,0025. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
|x−7,9| <0,0025
−0,0025 < x−7,9 < 0,0025
−0,0025+7,9 < x < 0,0025+7,9
7,8975 < x < 7,9025

Jadi, panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silinder tersebut berturut-turut adalah 7,9025 cm dan 7,8975 cm.

4. Alternatif Penyelesaian:

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan x sebagai ketinggian air atas perubahan yang terjadi adalah |x−750| < 80. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
|x − 750| < 80
−80 < x−750 < 80
−80+750 < x < 80+750

670 < x < 830
Jadi, interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut adalah di
antara 670 cm dan 830 cm. (Skor: 20).

5. Alternatif Penyelesaian:

Diketahui kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut tidak pernah lebih atau kurang 235 mpj dari rata-rata.
Misalkan v adalah kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut, maka selisih v dan 726 harus kurang dari atau sama dengan 235, atau dapat dimodelkan menjadi |v – 726| ≤ 235.

|v – 726| ≤ 235
– 235 ≤ |v – 726| ≤ 235 (sifat pertidaksamaan)
491 ≤ v ≤ 961 (masing-masing ruas ditambah 726

Sehingga, jangkauan kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut lebih dari atau sama
dengan 491 mpj dan kurang dari atau sama dengan 961 mpj.