Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel

PENYUSUN
Asmar Achmad, S.Pd 
SMA Negeri 17 Makassar

Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel – Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutnya mengandung variabel atau penyebutnya saja yang mengandung variabel.

Perhatikan beberapa pertidaksamaan berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan rasional?

Pertidaksamaan (a) dan (c) merupakan pertidaksamaan rasional karena penyebutnya mengandung variabel x.

Pertidaksamaan (b) dan (d) walaupun tampak berbentuk pecahan, tetapi bukan pertidaksamaan rasional karena penyebutnya tidak mengandung variabel.

Pertidaksamaan (b) merupakan pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan (d) merupakan pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel

Bentuk umum dari pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan adalah:

,   ,

,

dengan f(x) sebagai fungsi pembilang dan g(x) sebagai fungsi penyebut dimana g(x) ≠ 0

Langkah – langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

1. Buat ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol (bentuk umum).
2. Faktorkan fungsi pembilang dan penyebut ke dalam faktor-faktor linear apabila fungsi pembilang atau penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1.
3. Tentukan titik-titik kritis (pembuat nol) pada fungsi pembilang dan penyebut.
4. Gambar letak titik-titik kritis (pembuat nol) fungsi pembilang dan penyebut pada pada garis bilangan, sehingga diperoleh beberapa daerah (interval).
5. Tentukan daerah (interval) bertanda positif dan negatif dengan cara mengambil satu titik di setiap daerah sebagai titik uji. Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan dan tentukan tandanya saja (apakah + atau −)
6. Tulis tanda-tanda titik uji tersebut pada daerah dimana titik uji berada pada garis bilangan.
7. Daerah yang memenuhi penyelesaian adalah daerah yang memiliki tanda sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Catatan :

a. Jika tanda pertidaksamaan rasional < 0 atau > 0 maka semua titik kritis tidak termasuk penyelesaian, sehingga digambar dengan tanda bulat kosong pada garis bilangan.

b. Jika tanda pertidaksamaan ≤ 0 atau ≥ 0 maka titik kritis yang diperoleh dari fungsi pembilang termasuk penyelesaian, sehingga digambar dengan tanda bulat hitam pada garis bilangan.

c. Ingat fungsi penyebut tidak boleh bernilai 0 atau g(x) ≠ 0 , sehingga titik kritis dari penyebut tidak termasuk penyelesaian dan selalu digambar dengan bulatan kosong.

Contoh Soal Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  rasional

Jawab
Pada soal di atas, ruas kanan pertidaksamaan sudah sama dengan nol. Pembilang dan penyebut sudah dalam bentuk linear, sehingga kita dapat langsung menentukan titik kritis atau pembuat nolnya sebagai berikut.

Titik kritis (pembuat nol) :
Pada pembilang: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Pada penyebut: x + 5 = 0 ⇔ x = −5 (ingat, x = −5 tidak termasuk penyelesaian karena posisi x+5 sebagai penyebut maka x + 5 ≠ 0 sehingga x ≠ 5 ).

Selanjutnya kita akan menggambar letak titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan. Ingat, titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambar dengan tanda bulat kosong.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah (interval), yaitu daerah x < −5, daerah −5 < x ≤ 1, dan daerah x ≥ 1.

Pada masing-masing daerah kita ambil sembarang bilangan sebagai titik uji untuk menentukan tanda dari setiap daerah seperti pada tabel berikut.

Sehingga diperoleh tanda untuk setiap daerah seperti gambar berikut.

Langkah terakhir adalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan pada soal.
Pertidaksamaan

memiliki tanda ≤ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | −5 < x ≤ 1, x ∈ R}

 

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional satu variabel

Jawab

Pada soal di atas, ruas kanan pertidaksamaan sudah sama dengan nol. Pembilang dalam bentuk linear sedangkan penyebut dalam bentuk kuadrat, sehingga penyebut perlu difaktorkan ke bentuk linear.

⇔  

Titik Kritis (Pembuat Nol)

Pada pembilang: 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
Pada penyebut: x + 2 = 0 ⇔ x = −2 dan x – 4 = 0 ⇔ x = 4
(ingat, x = −2 dan x = 4 tidak termasuk penyelesaian karena berkedudukan sebagai penyebut sehingga x ≠ -2 atau x ≠ 4 ).
Gambar letak titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap daerah (interval)

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh empat daerah (interval), yaitu daerah x < −2, daerah −2 < x ≤ 3, daerah 3 ≤ x < 4, dan daerah x > 4.

Pengujian tanda setiap daerah pada tabel berikut.

Pertidaksamaan

memiliki tanda > 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda positif.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | −2 < x ≤ 3 atau x > 4, x ∈ R}

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional satu variabel

Jawab

Pada soal di atas, ruas kanan pertidaksamaan tidak sama dengan nol, sehingga perlu diubah ke bentuk umum berikut ini.

Gambar letak titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap daerah (interval). Dengan cara yang sama seperti dua contoh soal sebelumnya kita masukan titik uji untuk mendapatkan tanda + dan – . Kemudian kita dapatkan garis bilangan seperti di bawah ini

Pertidaksamaan ⇔ memiliki tanda ≤ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < −3 atau 5 < x ≤ 9, x ∈ R}

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

Jawab

(−x²+ x – 1) merupakan fungsi definit negatif. Ini dapat dilihat dari nilai a = −1 < 0 dan D = 1 – 4(−1)(−1) = −3 < 0. (Ingat, syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0).
Jadi, (−x² + x – 1) dapat dihilangkan tetapi tanda pertidaksamaan harus dibalik, sehingga diperoleh:

Titik kritis (pembuat nol)

Pada penyebut:
x + 1 = 0 ⇔ x = −1 (tidak termasuk penyelesaian)
x – 4 = 0 ⇔  x = 4 (tidak termasuk penyelesaian)

Gambar letak titik kritis pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap interval:

Pertidaksamaan memiliki tanda ≤ 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | −1 < x < 4, x ∈ R}.

Contoh 5 Soal Cerita Pertidaksamaan Rasional Satu variabel

Ketika suatu telepon genggam (handphone) baru diluncurkan di pasar, penjualan mingguan umumunya meningkat secara cepat dalam suatu periode waktu tertentu. Selanjutnya penjualan mingguan mulai menurun. Misalnya penjualan mingguan telepon genggam tersebut t minggu setelah diluncurkan dinyatakan oleh 

dengan P dalam ratusan.
Kapan penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu?

Jawab

Banyak penjualan per minggu adalah dengan P dalam ratusan
Penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu, berarti diperoleh pertidaksamaan:

Interval waktu penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu dapat diperoleh dengan mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

(t²+ 100) merupakan fungsi definit positif. Ini dapat dilihat dari nilai a = 1 > 0 dan D = 0 – 4(1)(100) = −400 < 0. (Ingat, syarat definit positif adalah a > 0 dan D < 0)
Jadi, (t²+ 100 ) dapat dihilangkan dan tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh:

Titik kritis (pembuat nol)
t – 5 = 0 ⇔ t = 5
t – 20 = 0 ⇔ t = 20
Gambar letak titik kritis pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap interval:
• untuk daerah t ≤ 5, ambil t = 4 ⇒ (4 – 5)(4-20) ⇔ (-)(-) = (+)
• untuk daerah 5 ≤ t < 20 , ambil t = 6 ⇒ (6-5)(6-20) ⇔ (+)(-) = (-)
• untuk daerah  t ≥ 20 , ambil t = 21  ⇒ (21-5)(21-20) ⇔ (+)(+) = (+)

Pertidaksamaan (t-5)(t-20) ≤ 0 memilki tanda ≤ 0  berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol, yaitu 5 ≤ t < 20.

Jadi, penjualan telepon genggam mencapai 800 unit atau lebih setelah diluncurkan di pasar antara 5 minggu sampai 20 minggu.

PENYUSUN
Asmar Achmad, S.Pd
SMA Negeri 17 Makassar