Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Latihan Soal kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran– merupakan materi lanjutan dari persamaan lingkaran dan juga modifikasi persamaan lingkaran. Maksud dari modifikasi adalah variasi soal yang berbeda tentang persamaan lingkaran dengan syarat-syarat tertentu yang melibatkan jarak sebuah titik pusat baik dengan garis, titik, maupun sumbu kordinat kartesius.

Sebelum kita mulai mengerjakan Latihan Soal Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran ada baiknya kita baca dulu materi tentang Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran di bawah ini.

1. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut ini !

Dari gambar diatas kita dapat melihat ada tiga kedudukan suatu titik terhadap sebuah lingkaran. Masing-masing kedudukan titik tersebut mempunyai syarat sendiri-sendiri. Nah sekarang bagaimana cara menentukan kapan suatu titik itu berada di dalam, pada , atau di luar lingkaran ?

Cara menentukan kedudukan suatu titik misalnya titik (p,q) terhadap suatu lingkaran adalah dengan cara mensubtitusikan titik (p,q) tersebut ke dalam persamaan lingkarannya. Kamudian lihat ciri-ciri atau kriteria kedudukan titik tersebut termasuk dalam kriteria di dalam, pada atau di luar lingkaran ???

Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing kriteria kedudukan titik terhadap lingkaran di bawah ini

A. DI DALAM LINGKARAN

• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( 0, 0 ) dan jari-jarinya = r adalah x² + y² < r²
• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( a, b ) dan jari-jarinya = r adalah (x – a)² + (y-b)² < r² atau x² + y² + Ax + By + C = 0

B. PADA LINGKARAN

• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( 0, 0 ) dan jari-jarinya = r adalah x² + y² = r²
• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( a, b ) dan jari-jarinya = r adalah (x – a)² + (y-b)² = r² atau x² + y² + Ax + By + C = 0

C. DI LUAR LINGKARAN

• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( 0, 0 ) dan jari-jarinya = r adalah x² + y² > r²
• untuk persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat ( a, b ) dan jari-jarinya = r adalah (x – a)² + (y-b)² > r² atau x² + y² + Ax + By + C > 0

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

1. Tentukan kedudukan titik A ( 2, – 5) terhadap lingkaran  x² + y² = 25

Solusi :
kita subtitusikan ( 2, – 5)  ke persamaan x² + y² = 25
2² + (-5)² = 25
4 + 25 = 25
29 = 25 ternyata ruas kiri ( 29 ) lebih dari ruas kanan ( 25 )
Kesimpulan : 
karena 29 > 25 maka kondisi tersebut memenuhi syarat x² + y² > r² sehingga kesimpulanya adalah titik (2, -5) berada di luar lingkaran x² + y² = 25 

2. Tentukan kedudukan titik B ( 3, -1 ) terhadap lingkaran (x-5)² + (y+5)² = 25

Solusi :
kita subtitusikan ( 3, – 1)  ke persamaan (x-5)² + (y+5)² = 25
(3-5)² + (-1+5)² = 25
4 + 16 = 25
20 = 25 ternyata ruas kiri ( 20 ) kurang dari ruas kanan ( 25 )
Kesimpulan : 
karena 20 < 25 maka kondisi tersebut memenuhi syarat (x-a)² + (y-b)² < r² sehingga kesimpulanya adalah titik ( 3, -1 ) berada di dalam lingkaran (x-5)² + (y+5)² = 25

3. Tentukan kedudukan titik C ( – 2 , – 3 ) terhadap lingkaran x² + y² + 4x + 3y  +4  = 0

Solusi :
kita subtitusikan ( – 2 , – 3 )  ke persamaan x² + y² + 4x + 3y  +4  = 0
(-2)² + (-3)² + 4(-2) + 3(-3)  +4  = 0
4 + 9 – 8 – 9 + 4 = 0
0 = 0
ternyata ruas kiri sama nilainya dengan ruas kanan
Kesimpulan : 
karena ruas kiri sama nilainya dengan ruas kanan  maka kondisi tersebut memenuhi syarat x² + y² + Ax + By  +C  = 0 sehingga kesimpulanya adalah titik ( – 2 , – 3 ) berada pada lingkaran x² + y² + 4x + 3y  +4  = 0 

2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut  ini !

Dari gambar diatas kita dapat melihat ada tiga kedudukan suatu garis terhadap sebuah lingkaran. Sama seperti kedudukan titik terhadap lingkaran, masing-masing kedudukan garis tersebut mempunyai syarat sendiri-sendiri. Nah sekarang bagaimana cara menentukan kapan suatu garis itu menyingung lingkaran ? memotong lingkaran ? tidak memotong dan tidak meniyinggung ?

Cara menentukan kedudukan suatu garis misalnya ax + by = 0 terhadap suatu lingkaran adalah dengan cara sebagai berikut :
i) Jadikan persamaan garis ax + by + c = 0 ke bentuk x = ( by + c )/a atau y = ( ax + c)/b.
ii) Subtitusikan x = ( by + c )/a atau y = ( ax + c)/b tersebut ke dalam persamaan lingkarannya. Maka akan terbentuk persamaan kuadrat ax²+bx + c = 0 atau ay²+by + c = 0
iii) Tentukan nilai Diskriminan atau D dengan rumus D=b² – 4ac.
iv) Kemudian lihat ciri-ciri atau kriteria kedudukan garis tersebut termasuk dalam kriteria menyingung lingkaran , memotong lingkaran , atau tidak memotong dan tidak meniyinggung.

Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing kriteria kedudukan garis terhadap lingkaran di bawah ini

A. MEMOTONG LINGKARAN

Sebuah garis ax+by+c=0 akan memotong suatu lingkaran apabila nilai D > 0

B. MENYINGGUNG LINGKARAN

Sebuah garis ax+by+c=0 akan menyinggung suatu lingkaran apabila nilai D = 0

C. TIDAK KEDUANYA

Sebuah garis ax+by+c=0 akan memotong suatu lingkaran apabila nilai D < 0

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

1 ) Tentukan kedudukan garis x + y =5 terhadap lingkaran x² + y² = 25 !

SOLUSI : 
x + y =5 kita ubah dulu menjadi x = -y + 5
kita subtitusikan x = -y + 5 ke persamaan lingkaran x² + y² = 25
(-y + 5)² + y² = 25
y² – 10y + 25 + y² = 25
2y² – 10y = 0
dari sini kita memperoleh a = 2 dan b = – 10 sedangkan c = 0 (ingat a adalah koefisien x² atau y², sedangkan b adalah koefisien x atau y, adapun c adalah konstanta )
kita tentukan nilai D dengan rumus D = b²-4ac
D = (-10)² – 4.2.0
D = 100 – 0
D = 100 > 0
karena nilai D = 100 dan 100 > 0 maka D>0 sehingga kesimpulannya adalah kedudukan garis x + y =5 terhadap lingkaran x² + y² = 25 adalah memotong lingkaran

2 ) Tentukan kedudukan garis 2x – y = – 5 terhadap lingkaran x² + y² – 2x + 3y + 1 = 0 !

SOLUSI : 
2x – y = – 5 kita ubah dulu menjadi 2x + 5 = y atau kita balik saja menjadi y = 2x + 5
(catatan : boleh dirubah ke x = akan tetapi nanti akan menjadi fungsi pecahan dan akan terlihat rumit. Maka saran saya gunakan yang tidak rumit saja)

kita subtitusikan y = 2x + 5  ke persamaan lingkaran x² + y² – 2x + 3y + 1 = 0
x² + (2x + 5)² – 2x + 3(2x + 5) + 1 = 0
x² + 4x² + 20x + 25 – 2x + 6x + 15 + 1 = 0
5x² + 24x + 41 = 0
dari sini kita memperoleh a = 5 dan b = 24 sedangkan c = 41 (ingat a adalah koefisien x² atau y², sedangkan b adalah koefisien x atau y, adapun c adalah konstanta )
kita tentukan nilai D dengan rumus D = b²-4ac

D = 24² – 4.5.41
D = 576 – 820
D = – 244 < 0

karena nilai D = – 244 dan – 244 < 0 maka D < 0 sehingga kesimpulannya adalah kedudukan garis 2x – y = – 5 terhadap lingkaran x² + y² – 2x + 3y + 1 = 0 adalah tidak memotong dan tidak menyingung lingkaran

Latihan Soal Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

1. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran x² + y² = 16
   a. A ( – 3 , 5 )
   b. B (  2, – 1)
   c. C ( 0 , – 4 )
   d. x – 4 = 0
   e. y + 5 = 0
   f. 3x – y + 2 = 0
   g. x + 3y -1 = 0
2. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran (x- 4 ) ² + (y + 5 )² = 4
   a. A ( – 3 , 5 )
   b. B (  2, – 1)
   c. y + 5 = 0
   d. 3x – y + 2 = 0
   e. x + 3y -1 = 0
3. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0
   a. A ( – 3 , 5 )
   b. B (  2, – 1)
   c. C ( 0 , – 4 )
   d. x – 4 = 0
   e. y + 5 = 0
   f. 3x – y + 2 = 0
   g. x + 3y -1 = 0
4. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran x² + y² – 6x + 8y  = 0
   a. ( 0, 0 )
   b. ( – 3 , – 4)
   c. 2x – 6 = 0
   d. 9x + 3y – 9 = 0
5. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dengan pusat ( 0, 0 ) dan jari -jari 7
   a. ( 0, 0 )
   b. ( – 3 , – 4)
   c. 2x – 6 = 0
   d. 9x + 3y – 9 = 0
6. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dengan pusat ( 2, – 1 ) dan jari -jari 1
   a. ( 0, 0 )
   b. ( – 3 , – 4)
   c. 2x – 6 = 0
   d. 9x + 3y – 9 = 0
7. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dengan pusat ( 2, – 1 ) dan melalui titik ( 5, – 3)
   a. ( – 3 , – 5 )
   b. garis x – 4y = 2
8. Tentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dengan pusat ( 2, 5 ) dan menyinggung sumbu y
   a. ( – 1 , – 2 )
   b. garis 2x + 4y – 8 = 0
9. Tentukan kedudukan  garis y – 3x + 1 = 0 terhadap lingkaran dengan pusat ( 3, -2 ) dan menyinggung garis 4x + 3y + 14 = 0

Total View 64,853 total views, Views Today 5 views today