Contoh Soal SPLTV dan pembahasannya kelas 10

Peserta didik sekalian, sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang sama. Seperti halnya sistem persamaan linear satu variabel dan dua variabel yang telah kalian pelajari sebelumnya, sistem persamaan linear tiga variabel juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah kontekstual yang berkaitan dengan permodelan secara matematis.

Ilustrasi SPLTV dalam dunia nyata

Seorang pedagang buah hendak memenuhi persediaan buah di kiosnya. Berdasarkan penjualan sehari-hari ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh pembeli, yaitu buah nanas, pisang, dan mangga. Namun karena keterbatasan modal dia tidak dapat sekaligus membeli buah-buahan yang banyak diminati tersebut. Oleh karenanya pedagang tersebut hanya dapat membeli jika modal sudah terkumpul. Hari pertama modal yang terkumpul adalah Rp 2.640. 000,00 sehingga pedagang tersebut dapat membeli 3 dus buah nanas, 2 dus buah pisang, dan 5 dus buah mangga. Untuk hari kedua pedagang tersebut memperoleh modal Rp 1.510. 000,00 dan dapat membeli 1 dus buah nanas, 3 dus buah pisang, serta 2 dus buah mangga. Sedangkan untuk hari ketiga dengan modal Rp 2.750.000,00 pedagang tersebut dapat membeli 4 dus buah nanas, 5 dus buah pisang, dan 3 dus buah mangga. Jika variabel x menunjukkan harga per dus buah nanas, variabel y menunjukkan harga per dus buah pisang dan variabel z menunjukkan harga per dus buah mangga. Bagaimana persamaan matematis yang dapat kalian bentuk dari permasalahan ini? Silahkan kalian menyimak penjelasan berikut ini.

Untuk menyelesaikan masalah kontekstual di atas, variabel x, y dan z sudah menunjukkan harga per dus buah masing-masing. Jika diuraikan:
x = harga per dus buah nanas
y = harga per dus buah pisang
z = harga per dus buah mangga
Maka, persamaan yang terbentuk
Hari pertama : 3x + 2y + 5z = 2640000 persamaan (1)
Hari kedua : x + 3y + 2z = 1510000 persamaan (2)
Hari ketiga : 4x + 5y + 3z = 2750000 persamaan (3)
Ketiga persamaan tersebut adalah persamaan matematis yang dapat terbentuk dari permasalahan pedagang buah di atas. Dari ilustrasi tersebut dapat dibuat sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

3x + 2y + 5z = 2640000
x + 3y + 2z = 1510000
4x + 5y + 3z = 2750000

Bentuk Umum SPLTV

Sedangkan bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut.

Keterangan:

•  Variabel adalah x, y dan z
• Koefisein adalah a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃
• Konstanta adalah d₁, d₂, d₃

Jika d1, d2, d3 masing-masing bernilai nol, maka dinamakan sistem persamaan linear homogen.
Sedangkan jika tidak semuanya bernilai nol, maka sistem persamaan linearnya dinamakan sistem persamaan linear nonhomogen.

Sekarang kalian pasti bertanya-tanya apa itu sistem persamaan linear homogen dan non homogen? Untuk menjawab rasa penasaran kalian silahkan membaca berbagai sumber bacaan tentang sistem persamaan linear homogen dan nonhomogen. Kegiatan membaca ini pasti sangat menarik karena sekaligus dapat meningkatkan kemampuan literasi kalian, betul demikian bukan?

Jika x = x₀ , y = y₀, z = z₀ memenuhi sistem persamaan tersebut, maka akan berlaku hubungan:

Pasangan berurutan (x_{0 ,} y₀ , z₀ ) disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga
variabel dan {(x_{0 ,} y₀ , z₀ )} disebut himpunan penyelesaian.

Langkah – langkah menyelesaiakan SPLTV

Berdasarkan pemaparan di atas beberapa l angkah dalam menyusun model matematika yang berbentuk SPLTV adalah sebagai berikut.
1. Menyatakan atau menerjemahkan masalah ke dalam bahasa yang mudah dipahami. Ini adalah problem real.
2. Mengidentifikasi berbagai konsep matematika dan asumsi yang digunakan dan berkaitan dengan masalah. Ini adalah problem matematika.
3. Merumuskan model matematika atau kalimat matematika yang berkaitan dengan masalah. Ini adalah proses matematisasi.
4. Merumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah tersebut.
5. Menentukan masing-masing variabel secara sistematis satu per satu baik dengan metode eliminasi, subtitusi atau campuran

Contoh soal SPLTV dan Pembahasannya

Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
3x – y + 2z = 15
2x + y + z = 13
3x + 2y + 2z = 24

Alternatif Jawaban:

3x – y + 2z = 15 …………………. (1)
2x + y + z = 13 …………………. (2)
3x + 2y + 2z = 24 …………………. (3)

Langkah pertama, Gunakan metode eliminasi terhadap salah satu persamaan terlebih dahulu.
Eliminasi persamaan (1) dan (2) :

3x – y + 2z = 15  | X 1 → 3x – y + 2z = 15
2x + y + z = 13   | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26 _
-x – 3y = -11 ………………… (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3) :

2x + y + z = 13           | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24      | X 1 → 3x + 2y + 2z = 24 _
x = 2 …………………. (5)

Karena dari persamaan (5) sudah didapatkan nilai x, sekarang tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (4)

Substitusi persamaan (5) ke (4) :

-x – 3y    = -11
-(2) – 3y = -11
-3y         = -11 + 2
-3y = -9
y = 3

Langkah ketiga, karena sudah didapatkan nilai x dan y. Langsung saja disubtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan 1, 2, atau 3 untuk mengetahui nilai z :

Substitusi nilai y ke persamaan (2) :
2x + y + z    = 13
2(2) + 3 + z = 13
4 + 3 + z      = 13
7 + z             = 13
z = 13 – 7
z = 6

Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(2, 3, 6)}.

Contoh soal cerita SPLTV dan Pembahasannya

nomor 1

Masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari sapi, kuda dan kerbau apabila dijumlahkan adalah 975 hari. Masa kehamilan kerbau lebih lama 85 hari dari masa kehamilan sapi. Dua kali masa kehamilan sapi ditambah masa kehamilan kerbau sama dengan 3 kali masa kehamilan kuda dikurang 65. Berapa hari ratarata masa kehamilan masing-masing hewan?

Alternatif penyelesaian

Alternatif Penyelesaian:
Misal: masa kehamilan sapi sebagai x,
masa kehamilan kuda sebagai y,
masa kehamilan kerbau sebagai z.
x + y + z = 975 … (1)
z = 85 + x … (2)
2x + z = 3y – 65 … (3)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:
x + y + ( 85 + x ) = 975
2x + y + 85 = 975
2x + y = 890 . .. (4)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3), diperoleh
2x + ( 85 + x ) = 3y – 65
3x + 85 = 3y – 65
3x – 3y = -65 – 85
3x – 3y = – 150
x – y = -50 … (5)

Eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5)
2x + y = 890
x – y = -50 +
3x = 840
x = 280

Substitusikan x ke persamaan (5), diperoleh:
280 – y = – 50
-y = -50 – 280
-y = – 330
y = 330

Substitusikan nilai x ke persamaan (2)
z = 85 + 280
z = 365
Jadi masa kehamilan sapi adalah 280 hari, kuda 330 hari, dan kerbau 365 hari.

nomor 2

Tiga bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut: Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000,00. Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000,00. Via membeli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000,00. Ibu memberikan uang sebesar Rp 100. 000,00 kepada Lia. Jika Ibu menyuruh Lia untuk membeli 2 Apel, 3 Jambu, dan 1 Mangga, berapakah sisa uang kembalian yang akan diberikan Lia kepada Ibu?

Alternatif penyelesaian

Alternatif Penyelesaian
Misal: a = Harga 1 buah Apel
j = Harga 1 buah Jambu
m = Harga 1 buah Mangga
Maka, model matematikanya adalah
2a + j + m = 47.000 … (1)
a + 2j + m = 43.000 … (2)
3a + 2j + m = 71. 000 …(3)

Eliminasikan variabel j dan m menggunakan persamaan (2) dan (3):
a + 2j + m = 43.000
3a + 2j + m = 71. 000 –
-2a = -28. 000
a = 14.000

Eliminasikan variabel m menggunakan persamaan (1) dan (2), dan substitusikan
nilai a:
2a + j + m = 47.000
a + 2j + m = 43.000 –
a – j = 4.000
j = a – 4.000
j = 14.000 – 4.000
j = 10.000

Substitusikan nilai a dan j ke persamaan (1):
2a + j + m = 47.000
2(14.000) + 10. 000 + m = 47.000
28.000 + 10.000 + m = 47.000
38.000 + m = 47.000
m = 47.000 – 38.000
m = 9. 000
Diperoleh harga 1 buah Apel adalah Rp 14.000, 1 buah Jambu adalah Rp 10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp 9.000. Ibu menyuruh Lia untuk membeli 2 Apel, 3 Jambu, dan 1 Mangga maka jumlah uang yang dibelanjakan oleh Lia adalah:
(2 x 14000) + (3 x 10000) + (1 x 9000) = 28000 + 30000 + 9000 = 67000. Uang yang diberikan Ibu kepada Lia adalah Rp 100.000, 00. Sehingga sisa uang kembalian yang akan diberikan Lia kepada Ibu adalah :
Rp 100.000,00 – Rp 67.000 = Rp 33.000,00

Nomor 3

Toko alat tulis pak rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 jenis paket sebagai berikut. Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp 17.200,00. Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp 19. 700,00. Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp 14.000,00. Hitunglah harga 1 buku + 1 spidol + 1 tinta. !

Alternatif penyelesaian

Misal:
b: harga 1 buah buku
s: harga 1 buah spidol
t: harga 1 buah tinta

Maka, model matematikanya adalah :
3b + s + 2t = 17.200 … (1)
2b + 2s + 3t = 19. 700 … (2)
b + 2s + 2t = 14.000 … (3)

Eliminasikan variabel t menggunakan persamaan (1) dan (2):
3b + s + 2t = 17.200    |×3| ⇔ 9b + 3s + 6t = 51.600
2b + 2s + 3t = 19. 700 |×2| ⇔ 4b + 4s + 6t = 39.400 –
5b – s = 12.200 … (4)

Eliminasikan variabel t menggunakan persamaan (1) dan (3):
3b + s + 2t = 17.200
b + 2s + 2t = 14.000 –
2b – s = 3. 200
s = 2b – 3.200 … (5)

Substitusikan persamaan (5) ke (4), diperoleh:
5b – s = 12.200
5b – (2b – 3.200) = 12.200
5b – 2b + 3.200 = 12.200
3b = 12.200 – 3.200
3b = 9.000
b = 9.000 ÷ 3
b = 3.000

Substitusikan nilai b ke persamaan (5), diperoleh:
s = 2b – 3.200
s = 2(3.000) – 3. 200
s = 6.000 – 3.200
s = 2.800

Substitusikan nilai b dan s ke persamaan (3), diperoleh:
b + 2s + 2t = 14.000
3.000 + 2(2.800) + 2t = 14.000
3.000 + 5.600 + 2t = 14.000
8.600 + 2t = 14.000
2t = 14.000 – 8.600
2t = 5.400
t = 5.400 ÷ 2 = 2.700

Diperoleh harga 1 buah buku adalah Rp3.000, 1 buah spidol adalah Rp2.800, dan 1 buah tinta adalah Rp2.700. Sehingga harga 1 buku + 1 spidol + 1 tinta adalah Rp 3.000, 00 + Rp 2. 800,00 + Rp 2.700,00 = Rp 8.500,00.

Nomor 4

Untuk nomor 4 sengaja saya buatkan video khusus tentang penyelesaian SPLTV bentuk pecahan. Simak Video selengkapnya

Modul SPLTV ini disusun oleh  :
Yenni Dian Anggraini, S.Pd., M.Pd., MBA.
SMA Negeri 9 Kendari

Demikian penjelasan singkat tentang SPLTV terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat