Limit Fungsi Aljabar

Contents

Limit fungsi aljabar – Merupakan materi matematika wajib yang diajarkan di kelas XI. Cakupan materi dari bab ini antara lain menentukan nilai dari limit fungsi aljabar menggunakan metode subtitusi, pemfaktoran, dan bentuk akar serta menentukan nilai dari limit fungsi aljabar tak hingga. Materi ini sebenarnya sangat mudah kalau kita mau sekedar membacanya saja terlebih apabila mau mencoba untuk berlatih mengerjakan soal.

Nilai Limit fungsi aljabar

1. SUBTITUSI

Untuk menentukan nilai limit fungsi yang harus dikuasai untuk pertama kali adalah subtitusi. Perhatikan contoh soal limit berikut :
Tentukan nilai dari

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x^{2}-5x+4}{x^{3}-2x+7}$

nah untuk menyelesaiakan permasalahan limit diatas kita harus mengganti/ memasukan/ mensubtitusikan nilai x dengan angka 3. Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut

$=\frac{2\left ( 3 \right )^{2}-5\left ( 3 \right )+4}{\left ( 3 \right )^{3}-2\left ( 3 \right )+7}$

$=\frac{2\left ( 9 \right )-15+4}{27-6+7}$

$=\frac{18-15+4}{27-6+7}$

$=\frac{7}{28} atau \frac{1}{4}$

Akan tetapi catatanya adalah apabila nilai dari

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$

maka penyelesainya tidak boleh menggunakan metode atau cara subtitusi hal ini dikarenakan ada sebuah prinsip yaitu

$NILAI LIMIT \neq \frac{0}{0} \neq \frac{\sim }{0} \neq \frac{\sim }{\sim }$

Misalnya perhatikan contoh soal tentukan nilai dari limit aljabar berikut !

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x+1}{2x^{2}-x-1}$

kalau kita subtitusikan nilai x dengan angka 1 maka hasilnya adalah

$\frac{1^{2}-2(1)+1}{2(1)^{2}-1-1}$

$\frac{1-2+1}{2(1)-1-1}=\frac{0}{0}$

padahal nilai limit tersebut menyalahi prinsip diatas tadi sehingga penyelesaianya tidak sah

Lalu bagaimana penyelesainya ??? ada beberapa solusi yang akan kami sampaikan disini antara lain sebagai berikut

2. Pemfaktoran

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x+1}{2x^{2}-x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}$

kemudian kita coret (x – 1) nya karena ada pada pembilang dan penyebut

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)}{(2x+1)}$

lalu kita subtitusikan nilai x dengan angka 1

$=\frac{1-1}{2(1)+1}$

$=\frac{0}{3}$

angka 0 (nol) disana SAH sebagai hasil atau nilai limit karena tidak menyalahi prinsip diatas tadi

3. L HOPITAL

Selain cara diatas kita bisa menggunakan cara lain yaitu L’ HOPITAL. Sebenarnya L Hopital ini adalah materi setelah limit karena kaitanya dengan BAB Aplikasi Turunan / Derivatif dalam menentukan nilai limit.

Perhatikan solusi alternatif dari soal di atas

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x+1}{2x^{2}-x-1}$

Yang harus diperhatikan adalah setiap bentuk aljabar ada ketentuan atau rumusnya sendiri-sendiri. Perhatikan penjelasan dibawah ini

$Ax^{n}\Rightarrow n.Ax^{n-1}$ maka x² kita ubah dengan cara pangkat dari x kita taruh di depan lalu pangkatnya kita kurangi, sehingga menjadi
$x^{2}\Rightarrow 2x^{2-1}=2x$ dengan cara yang sama maka 2x² menjadi 2 (2x) = 4x
$Ax\Rightarrow A$ dengan kata lain kita buang x nya langsung sehingga -2x menjadi -2 dan – x menjadi -1 .
$A\Rightarrow 0$ atau lebih mudahnya kalau tidak mengandung variabel x maka 1 dan – 1 berubah menjadi 0 (nol) dengan kata lain kita abaikan saja setiap yang tidak mengandyng variabel x

$=\frac{2x-2}{4x-1}$

$\frac{2(1)-2}{4(1)-1}$

$=\frac{0}{3}=0$

4. RASIONALISASI BENTUK AKAR DENGAN SEKAWAN

Nah sekarang apabila dalam fungsi aljabar mengandung bentuk akar. Maka salah satu solusinya adalah dengan mengalikan bentuk sekawannya. Misalnya perhatikan cara menentukan nilai limit aljabar yang mengandung bentuk akar di bawah ini

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$