CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA MATEMATIKA KELAS 11

contoh soal dan pembahasan barisan dan deret aritmatika 1

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA MATEMATIKA KELAS 11 Oleh Retno Wulandari & Istiqomah, S.Pd

Contoh soal dan pembahasan barisan dan deret aritmatika – pada postingan kali ini kita akan memberikan materi dan juga pembahasan soal tentang bagaimana menganalisis konsep barisan dan deret aritmatika kemudian menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika.

A. Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika

Sebelum kita berikan definisi barisan dan deret aritmatika silakan pahami terlebih dahulu ilustrasi berikut ini.

Jumlah uang saku kamu kelas 1 SD yaitu 5000, lalu uang sakumu ketika kamu kelas 2 SD bertambah menjadi 7000, kemudian uang sakumu ketika kelas 3 SD bertambah menjadi 9000, dan begitu seterusnya. Kalau diperhatikan, kenaikan uang saku kamu setiap tahunnya, yaitu 2000.

Maka urutannya adalah 5000, 7000, 9000, …

Nah, urutan jumlah uang saku kamu yang selalu naik dengan konstan (memiliki pola pertambahan yang tetap) inilah yang merupakan gambaran konsep dari barisan aritmatika.

Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 5000, 7000, 9000 adalah tetap yaitu 2000. Dengan demikian barisan 5000, 7000, 9000, …. disebut “Barisan Aritmetika”

Namun jika kita tuliskan penjumlahan dari uang saku kelas 1 + kelas 2 + kelas 3 + … sehingga 5000 + 7000 + 9000 + … maka ini biasa kita sebut dengan deret aritmatika.

Definisi
Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan yaitu selisih antara dua suku yang berururtan selalu tetap (konstan), maka barisan bilangan tersebut disebut Barisan Aritmatika. Sedangkan jumlah dari suku-suku pada barisan aritmatika dinamakan dengan Deret Aritmatika.

B. Suku pertama dan beda pada barisan dan deret Aritmatika

Langkah awal dalam menyelesaikan permasalahan barisan aritmatika adalah menentukan suku pertama dan beda pada barisan.

Contoh soal dan pembahasan barisan dan deret aritmatika

1. Tentukan suku pertama dan beda dari tiap barisan aritmatika berikut ini!
a) 7, 8, 9, 10, ……………..
b) 3, 8, 13, 18, ……………
c) 9, 6, 3, 0, ……………….

Jawab :
a) 7, 8, 9, 10, ……………..
suku pertama : a = 7 dan beda : b = 8 – 7 = 9 – 8 = 10 – 9 = 1
b) 3, 8, 13, 18, ……………
Suku pertama : a = 3 dan beda : b = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 13 = 3
c) 9, 6, 3, 0, ……………….
Suku pertama : a = 9 dan beda : b = 6 – 9 = 3 – 6 = 0 – 3 = – 3

Baca Juga :   Latihan Soal Program Linear

2. Diketahui suatu deret aritmatika : 1+3+5+7+….
Tentukan :
a) Jumlah dua suku yang pertama
b) Jumlah lima suku pertama

Jawab :
a) S2 = 1+3 = 4
b) S5 = 1+3+5+7+9 = 25

Latihan 1 Barisan dan Deret Aritmatika

Dengan memahami contoh tersebut maka kerjakan latihan berikut :

Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika di bawah ini
a. 2, 8, 14, 20, . . .
b. 8, 11, 14, 17, . .
c. −6, −3, 0, 3, …

C. Menemukan rumus suku ke-n barisan dan deret aritmatika

Jika 1 , 2,3,4 … … merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut:

Un = a + ( n − 1 )b

a = U1 adalah suku pertama barisan aritmetika
b adalah beda barisan aritmetika
n adalah jumlah suku
adalah jumlah suku ke-n

Contoh Soal

1) Tentukan suku ke-100 barisan aritmatika : 5, 8, 11, … !
Jawab:
a = 3 , b = 3 , n = 100
Un = a + (n-1)b
U100 = 5 + (100 – 1).3 = 5 + 99.3 = 5 + 297 = 302

2) Tentukan banyaknya suku (n) dari : 3, 6, 9, 12, … ,75 !
Jawab:
a = 3 , b = 3 , Un = 75
Un = a + (n-1)b
75 = 3 + (n – 1).3
75 = 3 + 3n – 3
75 = 3n
n = 25

3) Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika : 40, 35, 30, …
Jawab:
a = 40 , b = -5
un = a + (n-1)b
= 40 + (n – 1)(-5)
= 40 -5n + 5
= -5n + 45

4) Diketahui barisan aritmatika dengan u3 = 3 dan u8 = 13.
Tentukan :
a. suku pertama dan bedanya
b. suku ke-50
c. n jika un = 147

Jawab:
a. U8 = a + 7b = 13
U3 = a + 2b = 3 _
5b = 10
b = 2

kita subtitusikan ke U3 = a + 2b = 3
a+2(2) = 3
a+4 = 3
a = 3-4
a = -1

b. Un = a + (n – 1 ) b
U50 = – 1 + ( 50 – 1 ).2
= – 1 + 49 . 2
= – 1 + 98
= 97

c. Un = a + (n – 1 ) b
147 = – 1 + (n – 1 ) . 2
147 = – 1 + 2n – 2
147 = 2n – 3
147  + 3 = 2n
150 = 2n
n = 75

Jika barisan aritmetikanya adalah U1, U2, U3, …., Un maka deret aritmetikanya U1+U2+ U3+ ….+ Un dan dilambangkan dengan Sn

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
maka
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + ….+ (a + 2b) + (a + b) + a   +
2 Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + …. + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
2 Sn = n (a + Un)
Sn = ½ n (a + Un)

Karena Un = a + (n – 1)b maka jika disubstitusikan ke rumus menjadi
Sn = ½ n (a + ( a + (n – 1)b ))
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b )
Keterangan :
Sn = Jumlah n suku pertama deret aritmetika
Un = Suku ke-n deret aritmetika
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku

Untuk menentukan suku ke-n selain menggunakan rumus Un = a + (n – 1)b dapat juga digunakan rumus yang lain yaitu :
Un = Sn – S(n-1)
Misalnya
U2 = S2 – S1
U9 = S9 – S8
U12 = S12 – S11
dan lain sebagainya

Baca Juga :   Contoh Latihan Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri Kelas 11

Contoh soal deret artimatika

1) Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3+7+11+…

Jawab
Pembahasan :
Dari soal diatas Suku Pertama U1 atau a = 3
Kemudian kita cari beda dengan mengurangi suku setelah dengan duku sebelumnya dan dapat dituliskan sebagi berikut
= − (−1)
= 2 − 1
= 7 − 3
= 4
Selanjutnya subsitusi = 4 untuk mencari 20

Sn = ½ n (2a + (n – 1)b )
S20 = ½ . 20 ( (2 . 3 + (20 – 1)4 )
Sn = 10 (6 + 19 . 4 )
Sn = 10 (6 + 76)
Sn = 10 (82)
Sn = 820
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 820

2. Suatu barisan aritmetika dengan suku ke-4 adalah –12 dan suku kedubelas adalah –28. Tentukan jumlah 15
suku pertama !

Jawab
U12 = a + 11 b = –28
U4 = a + 3 b = –12    
8 b = –16
b = –2
Kita subtitusikan b ke U4
U4 = a + 3 b = –12
⇔ a + 3(–2) = –12
⇔a + (–6) = –12
⇔ a = –12 + 6
⇔ a = – 6
Subsitusi dan untuk mencari 15
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b )
S15 = ½ . 15 ( (2 . (–6) + (15 – 1)(–2))
S15 = ½ . 15 (- 12 + 14 (-2))
S15 = ½ . 15 (- 12 – 28)
S15 = ½ . 15 (- 40)
S15 = 15 (- 20)
S15 = – 300

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah −300

3. Suatu deret aritmetika dengan S12 = 150 dan S11 = 100, tentukan U12 !

Jawab
Karena yang diketahui 12 dan 11 maka untuk mencari kita bisa gunakan
rumus berikut : = − −1
Un = Sn – S(n–1)
U12 = S12 – S11
= 150 – 100
= 50
Jadi, nilai dari 12 adalah 50

4. Suatu barisan aritmetika dirumuskan Un = 6n – 2 tentukan rumus Sn !

Jawab
Diketahui = 6 − 2, untuk mencari 1, 2,3, … kita dapat mensubsitusi nilai = 1, 2, 3, … sebagai berikut.
a = U1 = 6(1) – 2 = 4
U2 = 6(2) – 2 = 10
b = U2 – U1 = 10 – 4 = 6
Subtitusi nilai = 4 dan = 6 untuk mencari rumus n
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b )
Sn = ½ n (2 . 4 + (n – 1)6)
Sn = ½ n (8 + 6n –6)
Sn = ½ n ( 6n + 2)
Sn = 3n
² + n
Jadi, rumus adalah =3n² + n

5. Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 !

Jawab
Jumlah bilangan ganjil antara 10 dan 200 dapat dituliskan dalam deret sebagai berikut
11 + 13 + 15 + 17 + ⋯ . +199
Deret di atas membentuk deret aritmetika dengan = 11, = 2 dan = 199
Langkah selanjutnya mencari n
Un = a + (n – 1)b = 199
⇔ 11 + (n – 1)2 = 199
⇔ 11 + 2n – 2 = 199
⇔ 9 + 2n = 199
⇔ 2n = 190
⇔ n= 95
Subtitusi nilai = 95 untuk mencari diperoleh
Sn = ½ n (a + Un)
Sn = ½ . 95 (210)
Sn = 9975

Jadi, jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 adalah 9975

Baca Juga :   Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat !

A. Pilihan Ganda

1. Dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, … suku ke 21 adalah
A. 40
B. 43
C. 46
D. 49
E. 5

2. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 4 adalah 6 dan bedanya 3. Suku ke 8 adalah …
A. 18
B. 31
C. 34
D. 37
E. 40

3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 15 adalah 30 dan bedanya –5. Suku ke 6 adalah
A. 65
B. 25
C. 75
D. 80
E. 90

4. Rumus umum suku ke-n dari barisan 4, 9, 14, 19, 24, …. adalah …
A. 5n + 2
B. 5n – 1
C. 5n + 1
D. 5n – 2
E. 5n + 2

5. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 6 adalah –4 dan suku ke 9 adalah –19, maka suku ke 11 adalah…
A. –34
B. –29
C. –19
D. –24
E. –14

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

6. Hasil dari 5 + 7 + 9 + 11 + … + 41 adalah …
A. 379
B. 437
C. 471
D. 407
E. 207

7. Jika 4 + 6 + 8 + 10 + … + x = 130, maka nilai x adalah …
A. 10
B. 15
C. 18
D. 22
E. 32

8. Suku ke empat dari suatu barisan aritmatika adalah 20 dan jumlah 5 suku pertamanya sama dengan 80. Jumlah sebelas suku pertamanya adalah…
A. 196
B. 210
C. 264
D. 308
E. 332

9. Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah n suku pertamanya ditentukan dengan rumus Sn = ½ n (3n + 5). Suku ke 6 adalah …
A. 19
B. 33
C. 36
D. 39
E. 42

10. Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 60 yang habis dibagi 3 adalah …
A. 552
B. 486
C. 462
D. 312
E. 396

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

URAIAN

1. Suku ke-10 barisan aritmatika adalah -60 dan suku ke-3 nya adalah -11 , tentukan suku ke-21 nya !

2. Banyak kursi baris depan pada gedung pertunjukkan 20 buah. Banyak kursi pada baris di belakangnya selalu lebih 5 buah dari kursi pada baris di depannya. Jika dalam gedung ada 25 baris kursi, maka berapa banyak kursi pada baris ke-25 di gedung tersebut ?

3. Suatu perusahaan memproduksi 5.000 unit barang pada tahun pertama. Pada tahun-tahun berikutnya, hasil produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun, tentukan pada tahun keberapa perusahaan tersebut hanya memproduksi 3.000 unit?

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Demikian postingan tentang contoh soal dan pembahasan barisan dan deret aritmatika kelas 11. Semoga bermanfaat dan sukses selalu buat kita semua.

 

Total View 1,377 total views, Views Today 1 views today

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *