Menentukan Banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 120

Contents

Okay kali ini kita akan belajar soal OSN tentang bagaimana cara menentukan Banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK tertentu. Disini misalnya saya ambil contoh 120.

Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan faktorisasi prima dari bilangan 120. Adapun faktorisasi prima dari 120 adalah $120=2^{3}\times 3\times 5$

. Misalkan pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 120 adalah x dan y.

Maka x dan y memiliki faktor prima yang sama dengan pangkat yang bisa jadi berbeda. Sehingga kita tulis
$x =2^{a}\times 3^{b}\times 5^{c}$
$y =2^{d}\times 3^{e}\times 5^{f}$
Sekarang kita tentukan pasangan ad, be, dan cf.

Dimana pasangan ad maksimal 3, maksudnya salah satu dari a dan d harus ada yang pangkat 3. Maka dengan demikian pasangan ad ( 0,3 ) (1,3) (2,3) (3,3) (3,0) (3,1) (3,2)

Cara cepat menentukan banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK tertentu

Sekarang kita akan menentukan Banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK tertentu menggunakan rumus cepat.

Banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK tertentu

Sekarang kita praktekan dengan bilangan 120 seperti soal diatas. Berapakah banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 120 ?

Kita tulis lagi faktorisasi primanya $120=2^{3}\times 3\times 5$ sehingga m1 = 3 , m2 = 1 dan m3 = 1 juga. Dengan rumus diatas kita dapatkan banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 120 adalah (2.3 + 1)(2.1 + 1)(2.1 + 1) = 7×3×3 = 63 pasang.

Soal OSP Matematika SMP 2017 tentang banyaknya pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK tertentu

Diketahui x dan y adalah dua bilangan bulat positif. Banyak ( x,y ) sehingga kelipatan persekutuan terkecil dari x dan y sama dengan $2^{3}\times 3^{5}\times 5^{7}$ adalah ….

Dengan rumus cepat di atas kita mendapatkan data bahwa m1 = 3, m2 = 5 dan m3 =7. Sehingga banyak pasangan ( x,y ) yang memiliki KPK sama dengan $2^{3}\times 3^{5}\times 5^{7}$

adalah (2.3 +1)(2.5 +1)(2.7 +1) = 7×11×15 = 1155 pasangan x dan y

Latihan soal menentukan banyak pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 5940

Kita tulis dulu faktorisasi prima dari 5940 adalah $5940 = 2^{2}\times 3^{3}\times 5^{1} \times 11^{1}$ sehingga kita dapatkan data m1 = 2, m2 = 3, m3 = 1, m4 = 1
Dengan menggunakan rumus cepat makan banyak pasangan bilangan asli yang mempunyai KPK 5940 adalah (2.2 + 1)(2.3 + 1)(2.1 + 1)(2.1 + 1) = 5×7×3×3 = 315 pasangan